Cho A=\(\frac{x^4+1}{\left(1+x^2\right)^2}\)
với x>0. Chứng minh \(A\ge\frac{1}{2}\)
Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}\)
Bài 2:Cho \(a>0,b>0,c>0\).\(CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
b) Chứng minh rằng\(\Sigma\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
3a biến đổi tí là xong
b tuong tự bài 1
Bài 1 cho x,y,z>2014 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{1007}\)
chứng minh rằng \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-2014}+\sqrt{y-2014}+\sqrt{z-2014}\)
Bài 2
cho a,b,c>0. chứng minh rằng
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{4}{ab+bc+ca}\)
Bài 2 : đã cm bên kia
Bài 1: :|
we had điều này:
\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)
Xòng! bunyakovsky
P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<
Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
BĐT Vacs: Với a, b, c > 0 và abc = 1. Có:\(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
Đặt \(a\rightarrow a^k,b\rightarrow b^k,c\rightarrow c^k\) thì abc = 1. Có: \(\frac{1}{a^{2k}+a^k+1}+\frac{1}{b^{2k}+b^k+1}+\frac{1}{c^{2k}+c^k+1}\ge1\) (*)
BĐT (*) sẽ giúp ta giải được khá nhiều bài toán với điều kiện abc = 1.
Ví dụ 1: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2c\right)^2}\ge\frac{1}{3}\) với abc =1,a>0,b>0,c>0
Phân tích: Ta chọn k: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}=\frac{1}{4a^2+4a+1}\ge\frac{1}{3\left(a^{2k}+a^k+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow3a^{2k}+3a^k+2\ge4a^2+4a\)
Đạo hàm và cho a = 1 thì được \(k=\frac{4}{3}\)
Vậy ta chứng minh: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}\ge\frac{1}{3\left(a^{\frac{8}{3}}+a^{\frac{4}{3}}+1\right)}\) (1)
Đặt \(a\rightarrow x^3\) cần chứng minh: \(\frac{1}{\left(1+2x^3\right)^2}\ge\frac{1}{3\left(x^8+x^4+1\right)}\) (dễ dàng)
Từ đó thiết lập 2 BĐT tương tự (1), cộng theo vế, dùng (*) với k = 4/3 ta được đpcm.
Lời giải xin để cho mọi người.
PS: Bài trên có một cách dùng UCT khá khó ở https://diendantoanhoc.net/topic/90839-phương-pháp-hệ-số-bất-định-uct/?p=394487
Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0 và xyz =1 .Chứng minh: \(\frac{x^2}{\left(1+x\right)^2}+\frac{y^2}{\left(1+y\right)^2}+\frac{z^2}{\left(1+z\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow abc=1\)
Ta có: \(\frac{x^2}{\left(1+x\right)^2}=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\ge\frac{3}{4\left(a^2+a+1\right)}\)
Bài toán hay dùng BĐT Vacs\(\sqrt{a^2-a+1\:}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\ge a+b+c\)
Kết hợp giữa việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến và tinh ý nhận ra bổ đề Vacs
Chú tth thử làm nhứ. Trong TKHĐ của t có sol rồi nha !!!!
zZz Cool Kid_new zZz cách bác thì nhất rồi cách t thì chả khá gì a Thắng bên AoPS t nhớ có sol dùng Vacs lâu rồi mà
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1900105p12986856 đây là sol dùng Vacs của teomihai, có từ 20/8/2019
Chứng minh:
a/ \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
b/ x,y >0 và x+y=1. Chứng minh: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
c/ a,b,c>0 và \(\frac{a}{b}\)>1. CM: \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)
Cho biểu thức \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)Với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh khi 0 < x < 1 thì P <0
Dạng 1. Đưa về bất phương trình
Bài 1. Cho B = \(\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}++1}\) với x ≥ 0. Tìm x để B \(< \frac{3}{2}\)
Bài 2. Cho C = \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\) với x ≥ 0, x ≠ 1. Tìm x để C ≤ 1
Bài 3. Cho D = \(\frac{2\sqrt{x}-4}{x}\) với x > 0. Tìm x để D ≥ \(\frac{1}{4}\)
Bài 4. Cho P = \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\) với x ≥ 0. a) Tìm x để \(\left|P\right|=P\) ; b) Tìm x để \(\left|P\right|=-P\)
Bài 5. Cho Q = \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) với x ≥ 0. Tìm x để :
a) Q2 ≥ Q ; b) Q2 < Q ; c) Q2 - 2Q < 0 ; d) Q < \(\sqrt{Q}\)
Dạng 2. Chứng minh
Bài 1. Cho A = \(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\) với x ≥ 0, x ≠ 1. Chứng minh A < \(\frac{1}{3}\)
Bài 2. Cho B = \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\) với x > 0, x ≠ 9. Chứng minh B < \(\frac{1}{3}\)
Bài 3. Cho C = \(\frac{3\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+3}\) với x > 0. Chứng minh C ≤ 1.
Bài 1: a) Cho x>0,y>0 và m,n là hai số thực .Chứng minh rằng \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\) ≥ \(\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)
b)Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) ≥\(\frac{3}{2}\)
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Áp dụng Buhiacopxki có \(\left(\left(\frac{m}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{n}{\sqrt{y}}\right)^2\right)\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right)\ge\left(m+n\right)^2\)
\(\RightarrowĐPCM\)
ai biết giúp mình với mai ktra rồi .Chứng minh với mọi x, y:\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
cho x,y > 0. Chứng minh : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
cho x2+y2=1.Chứng minh: \(\left(x+y\right)^2\le2\)
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
<=> \(x^2+y^2\ge2xy\)
<=>\(x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
<=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
<=>\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)